集合圏

• 集合を対象、関数を射とした圏のこと

  • 群の圏はこれと似てる

• 集合の要素に触れることなく、実質的に集合の要素を扱いたい

  • ある集合Xがあるとき、シングルトンからXへの関数を定義することで、集合Xの要素にふれること無く、集合Xの要素について語ることができる
    • 圏論的集合論 集合圏とトポスのp.11に書いてある。「その要素を指差す」写像というのがそう
  • このシングルトンは中の値は違うが、同じ働きをする。圏論ではこれらを区別しないことが多い。つまり同型であると考える
    • 式にすれば$g\circ f=1_X,f\circ g=1_Y$となるとき、XとYは同型である
  • さっきの同型の定義と同じことを言ってる
  • 集合論の定義は全単射だけれど、圏論では要素を扱えないので、別の定義で考える必要がある
  • このように扱うことで、圏で要素について語れるようになった

• AとBが同型であるとは、全単射となる$f:A\to B$が存在する

  • fが全単射 $⟺$ $f^{-1}$が存在して、$f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_B,f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_A$ を満たす
  • シングルトンな対象はすべて同型である
  • 行って戻って恒等射と等しいことが大事！